Рис. 2. Распределение скорости частиц при течении жидкости по трубе
2. О реальности идеальной несжимаемой жидкости
В рамках неоклассической физики к уравнению Бернулли приводит всё то же обобщённое уравнение динамики Ньютона-Лоренца, которое в Очерке 1 представлено в следующих скалярной и векторной формах соответственно:
(4) F = П + K u/c + mdu/dt,
(5) F = П + [u/c, K] + mdu/dt;
а также показанное на рис. 2 распределение скоростей частиц в потоке реальных жидкости или газа при течении по трубе радиуса R: при удалении от оси ОX трубы скорости частиц уменьшаются, частицы тормозятся силами трения П о поверхность трубы.
|
Рис. 2. Распределение скорости частиц при течении жидкости по трубе |
Для легко сжимаемой среды — газа величина модуля упругости K мала, а относительная деформация u/c велика; для практически несжимаемой среды — жидкости, напротив, u/c мало, а K велико. По этой причине упругая составляющая [u/c, K] силы сопротивления деформированию должна учитываться всегда — и для газов, и для реальных жидкостей, содержащих, как правило, упругую компоненту — растворённые газы и паровую фазу.
При умножении слагаемых уравнения (4) на dx и интегрировании в пределах от нуля до x = l (длина выделенного участка трубы) для начальных условий F = 0, u = 0, du/dt = 0, постоянной интегрирования const = П после простых преобразований получаем:
(6) Δp = f1 u/R 2 + ½ f2 ρ u 2;
здесь Δp = (F – П)/πR 2 — перепад давления на выделенном участке трубы, πR 2l — объём жидкости или газа в выделенном участке трубы, ρ = m/πR 2 l — плотность среды, f1 ≈ K/πc и f2 ≈ 1,0 — коэффициенты пропорциональности. Видим, что сила сопротивления течению реальной жидкости или газа обусловлена двумя слагаемыми: первое преобладает при малых числах Рейнольдса (опыты Хагена и Пуазейля) и утверждает линейную зависимость потерь давления в потоке от его скорости; второе — при больших Re = ρlu/A (опыты А. Дарси) и предлагает квадратичную зависимость потерь напора от скорости потока. При этом линейный член уравнения учитывает энергию упругих деформаций газа или реальных жидкостей, обусловленную составляющей Ku/c силы сопротивления движению потока, в то время как квадратичный член определяет инерционную или вязкую её составляющую mdu/dt. Иными словами, скалярные уравнения (4) и (6) описывают поток реальной упруго деформируемой жидкости.
Аналогичная процедура с векторным уравнением (5) — скалярное умножение на вектор dx и последующее интегрирование вдоль трубки тока или оси ОХ трубы — приводит к исчезновению упругой составляющей [u /c, K]dx = 0 из уравнения вследствие колинеарности перемножаемых векторов. Другими словами, в этом случае мы имеем дело с потоком несжимаемой жидкости: если на такой поток не действуют иные внешние силы, кроме силы тяжести F = ρg, то приходим прямо к уравнению Бернулли (1) для несжимаемой, но абсолютно реальной жидкости. Ибо полученный результат базируется на той же вязкоупругопластической модели рис. 1.1 (см. Очерк 1), отражающей фундаментальные свойства реальных тел. А «несжимаемость» жидкости, как видим, оказывается обусловленной не физическими свойствами её, а характером организованного направленного движения в водопроводе, для которого Бернулли и получил своё уравнение.